hsiao的工安部屋部落格

蕭技師:

請教一下，計算題，布林代數化簡後 Z= (A)+ (B × C)

何時可以直接套入失誤率數值?何時又該以 1-(1-A)*(1-B*C)  ?

麻煩您了，感恩。

Dear阿飆，

有關失誤樹當中的「失誤率」計算的問題，要用文字來敘述，對我來說那是一件非常痛苦的事情，想了兩天之後，決定用我的方式將我的想法化成文字，希望你可以看的懂，如果看不懂的話也請你見諒!

先就考題來說，所有的類似考題解題步驟，都是先把事件樹先做「布林代數的簡化」找出最小切割集合（MCS），有關布林代數的簡化，就以這個考題來說，頂端事件簡化至Z=A＋(B×C)，應該都沒有什麼問題才對!

接著先談「且」閘，也就是所謂的「AND」gate啦!假設兩個「基本事件」為A及B，則A與B的「交集」的機率P_AB＝P_A×P_B，用白話文來說，A事件與B事件同時發生的機率為A事件的發生機率與B事件的發生機率之「相乘積」。

另外一個就是「或」閘，也就是所謂的「OR」gate啦!假設兩個「基本事件」為A及B，則A與B的「聯集」的機率P_A+B＝P_A＋P_B－P_A×P_B，用白話文來說，A事件與B事件任何一個事件就會發生的事件，該事件發生的機率為A事件的發生機率與B事件的發生機率之「相加總」，但是這個「相加總」的機率必須要去扣除A事件與B事件重疊的機率，以避免機率被重複計算。

上述的算式，套入所謂的「補集合」，這個「補集合」觀念，就是「不成功便成仁」，也就是說事件不是「成功」就是「失敗」，用數字來說明應該會比較簡單一點，也就是說當事件的「失敗機率」是25%的時候，相對的其「成功機率」就是75%了，也就是說P_A的補集合機率P’_A＝1－P_A、P_B的補集合機率P’_B＝1－P_B。

把上述「補集合」觀念套入A與B的「聯集」的機率P_A+B＝P_A＋P_B－P_A×P_B之後，就可以得到P_A+B＝1－P’_A×P’_B這個公式了，也就你所謂的Z= 1－(1－A)×(1－BC)了。

另外一個說法，就是把「失誤樹」先轉換成「成功樹」去做計算，然後把1去減掉「成功的機率」之後就得到所謂的「失誤率」了!

看到這個地方，應該是頭都暈了才對，針對你的問題，簡單一點的說，我只要是看到題目是要算機率，我就先做「布林代數」簡化，得到「MCS」之後，我就看「頂端事件」的組成「邏輯閘」有沒有「OR」gate，如果沒有「OR」gate，全部都是由「AND」gate所組成，那麼我就不做「失誤樹」與「成功樹」的轉換，直接就開始計算了，相反的只要「頂端事件」的組成「邏輯閘」當中有「OR」gate，那麼我就會去做「失誤樹」與「成功樹」的轉換了!

說到這邊，你應該會有疑問，為什麼我的「參考題解」是採用「直接計算」並沒有去做「轉換」呢？

我只能說，因為兩者的差異實在是太小了，再加上坊間老師的解答也是採用「近似值」的算法，我實在沒有資格去表示意見，所以也就採用「近似值」的算法了。

現在你都已經提出疑問了，我個人的認知也是認為應該還是要採取「精確值」才是王道，所以我會去修改我的「參考題解」，感謝你的細心觀察!!謝謝!!

祝 順心

ehic_hsiao敬上